抛一枚硬币，观察实测频率如何随样本量增大而收敛到理论概率——以及为什么收敛速度只有 1/√n。把正面概率 p 调离 50%，看看“不公平”要多少次实验才能被看出来。
实际操作
本次结果
连续投掷时仅展示最近若干次结果。
大数定律：正面频率随投掷次数的收敛
累计统计
理论值
投一个或多个骰子，比较每个面的实测频率与理论概率 1/6，并用卡方检验判断骰子是否公平。
实际操作
最近几次结果
频率分布 vs 理论概率
累计统计
频率明细
卡方拟合检验
自由度 df = 5（单骰）、10（双骰）。χ² 越小越符合均匀分布；在 5% 显著性水平下，单骰临界值约 11.07，双骰约 18.31，小于临界值就不能否定“骰子公平”。
以中国福利彩票“双色球”为例：红球 6 个从 1–33 中选，蓝球 1 个从 1–16 中选。这里用精确组合数计算每一档的中奖概率与期望回报，并模拟“长期坚持购买”的真实结果。
选号与开奖
长期购买模拟：累计投入 vs 累计回报
各奖级中奖概率（精确组合数）
期望值与回报率
一、二等奖为浮动奖金，此处按给定假设值计算；其余奖级为固定奖金。结论：长期期望回报率显著低于 100%，即每买一注平均净亏。
一等奖概率有多小
中心极限定理：当多个独立同分布的随机变量相加，其和（或均值）的分布会趋近正态分布，无论原始分布是什么。掷骰子是最直观的例子。
实际操作
点数和的经验分布 vs 理论正态曲线
累计统计
理论
单骰均值 3.5、方差 35/12。n 个骰子之和的均值为 3.5n，方差为 35n/12。把横轴换成“标准化”值 z = (X − μ) / σ 后，不同 n 的分布会重叠成同一条标准正态曲线。
一个房间里至少两人同一天生日的概率，远高于直觉。23 个人时概率就已超过 50%。下面的曲线是精确值，模拟按钮可以用真实随机验证它。
精确概率曲线
实际操作验证
关键数值
公式
k = 23 → 50.7%；k = 41 → 90.3%；k = 57 → 99.0%；k = 70 → 99.9%。
三扇门后有一辆汽车，另两扇后是山羊。你选择一扇门后，主持人打开另一扇有山羊的门，然后问你是否换门。换门的中奖概率真的是 2/3 吗？用模拟验证。
实际操作
两种策略的中奖率对比
累计统计
为什么是 2/3
主持人知道车在哪，并且一定会打开一扇羊门，这个“知情行为”把信息注入了剩下的那扇门，使它继承了 2/3 的概率。
公交平均每 10 分钟来一班。你随机走到站台，平均要等多久？直觉是 5 分钟，但如果公交是“随机到站”的，答案其实是 10 分钟——这就是“等待时间悖论”。
实际操作
等待时间分布 vs 理论曲线
累计统计
理论：等待时间悖论
出门要不要带伞？这不是靠“感觉”，而是道期望值问题：带伞要付出麻烦成本，不带伞则有被淋湿的风险。拖动三个参数，看最优决策的边界在哪里。
参数操作
期望损失随下雨概率变化
当前决策
二维热力图：下雨概率 × 被淋成本
颜色代表“采取最优策略后的期望损失”，越红损失越高。白点标记当前参数位置；“带伞”与“不带”的分界线是一条直线 p = 带伞成本 / 被淋成本。
理论
密码到底有多难撞？把字符集大小按密码长度做幂运算，会得到一个大得离谱的可能性总数。这里用精确组合数展示不同密码的强度，并模拟暴力破解一次。
参数操作
可能性随长度爆炸式增长
计算结果
理论
抽屉里有若干颜色的袜子，闭眼随机抽两只，恰好抽到一双（同色）的概率是多少？增减各色数量，概率会实时变化——组合数学给出精确答案，模拟给出验证。
抽屉里的袜子（按“双”计）
各颜色贡献 vs 精确概率
精确计算
每次随机猜一个 1–10 的数，连续猜中 k 次的概率是 (1/10)^k。连续命中几次才算“幸运”？看分布就知道——绝大多数人的连击都很短。